Topologia Algebraica Muy Elemental En Dimensión Muy Baja

Resumen del libro

Estas notas corresponden a un curso de iniciación cuyo objetivo es que un alumno con unos conocimientos básicos de Topología Elemental (subespacios, espacios cociente y productos, compacidad y conexión) se inicie en las ideas de la Topología Algebraica y las aprecie para desear estudiarlas en profundidad. Todo lo que se incluye ha sido parte en uno u otro momento desde 2010 de los cursos de Topología Elemental impartidos por el tercer autor o de TFGs de alumnos suyos (como los que en su momento realizaron los dos primeros autores). No se estructuran ordenadamente como en una exposición teórica sistemática, sino como unos apuntes de aula revisados con detalle. El desarrollo de la teoría se detiene cada vez que se puede obtener un resultado relevante y, confiamos, llamativo para el lector. Tales altos en el desarrollo teórico no quieren ser distracciones, sino promesas de que the best is yet to come (Patti LaBelle/Groover Washington Junior). Se intenta captar la atención con algo más que la belleza elegante de la teoría en sí, aunque sea tanta. En la práctica del aula ha resultado bien. A este respecto, indiquemos que las lecciones 0-12, 15-17, 30-31 son el núcleo de un curso cuatrimestral. Las demás son posibles exposiciones complementarias o temas de trabajo de fin de grado.

En cuanto a objetivos específicos, el central es explicar los conceptos de homotopía, deformación, caminos y lazos, y grupo fundamental. Tambiénn poder calcular rigurosamente algunos grupos fundamentales importantes: las esferas y la circunferencia, los espacios proyectivos reales, el toro, los bouquets finitos (de dificultad significativa en este contexto tan elemental). Aquí se incluyen dos cosas en dimensión arbitraria: las esferas y los espacios proyectivos reales; se hace porque los argumentos no serían más baratos en dimensión 2. Como aplicación se obtienen en dimensión 2 una serie de teoremas importantes: el fundamental del Álgebra, los de Borsuk-Hirsch (a veces atribuidos también a Ulam por su relación con Borsuk), la invarianza del dominio, la invarianza de la dimensión, la invarianza del borde, el del punto fijo de Brouwer, el de la esfera despeinada de Brouwer y el de Brouwer-Hopf. También se llega a demostrar que la esfera no es contráctil, un ejercicio casi fuera del alcance de este texto.

A continuación el curso se ocupa de los teoremas de Jordan-Schoenies. En consonancia con el propósito declarado al principio, se utilizan procedimientos elementales. Por supuesto se aclara que el teorema de Jordan es válido en dimensiones superiores, y que el de Schoenies no lo es. Abundando en esta peculiaridad se analiza la relación con los teoremas de Riemann y de Carathéodory. Un teorema importante que se deduce del de Schoenies es el teorema del anillo. También se obtiene Jordan-Schoenies en el plano proyectivo, que tiene un enunciado más sofisticado, pero a nuestro alcance.

La última parte y colofón del curso se dedica a la construcción de superficies mediante cocientes de una región fundamental y mediante sumas conexas de planos proyectivos y toros. Se aprovechan estas construcciones para enunciar (sin demostración) el teorema de clasificación de superficies, y explicar las nociones de primer grupo de homología, orientabilidad, número de Betti, característica de Euler y dimensión de inmersión.

Al final de cada lección se proponen problemas de dificultad variable, desde observaciones sencillas a resultados adicionales relevantes: 259 enunciados en total. Se citan en el texto mediante el símbolo #, y algunos más difíciles o más significativos se marcan con un rayo o incluso dos. Además de ser un desafío para el lector, estos problemas señalados deben estimular la búsqueda de otras lecturas. Consideramos los problemas un complemento imprescindible del texto, junto con unos pocos enlaces (16, incluyendo 13 animaciones verdaderamente atractivas) que hemos elegido entre los muchos muy interesantes que hay sobre la materia. Para terminar hemos incluido una lista reducida de referencias, las que más directamente hemos utilizado para escribir estas notas.

La segunda edición de 2021 fue una revisión muy profunda de la primera de 2019, motivada por la experiencia de uso en el aula. Se reescribió completamente la lección 13 y se añadió la 28, y se mejoraron varias demostraciones importantes. Se ha retocado todo el texto para afinar estilo, precisión y claridad, en bastantes casos atendiendo las muy atinadas advertencias de los alumnos. También se reformó completamente la colección de problemas: 80 más que en la primera edición, reordenados y redactados de nuevo casi todos. Y al remaquetar todo el texto para mejorar el diseño se han añadido códigos QR de las animaciones que se citan.  La edición tercera que ahora publicamos incluye muchas mejoras locales en la teoría y los ejercicios, pero mantiene el enfoque global de la precedente.

J.D. Porras, M. Jaenada, J.M. Ruiz

Índice

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