Fundamentos De Cálculo

Resumen del libro

El cálculo constituye uno de los pilares fundamentales de las matemáticas y una herramienta indispensable en numerosas disciplinas científicas y técnicas. Sus conceptos permiten describir y analizar fenómenos en los que intervienen magnitudes variables, estudiar procesos de cambio y resolver una amplia variedad de problemas relacionados con la ciencia, la ingeniería, la economía y la inteligencia artificial.

Este libro tiene como objetivo fundamental presentar, de la forma más clara posible, los fundamentos básicos del cálculo de funciones reales de una variable real. Se ha procurado combinar el rigor matemático con una exposición accesible, apoyada en numerosos ejemplos, figuras y ejercicios que faciliten la comprensión de los conceptos y de los procedimientos estudiados.

Como resultado del estudio y aprendizaje de los contenidos de este libro, el estudiante será capaz de:

• Comprender la estructura y las propiedades fundamentales de los números reales.
• Utilizar intervalos, desigualdades y valores absolutos para describir conjuntos y resolver problemas matemáticos.
• Comprender el concepto de función real de una variable real y analizar sus principales propiedades.
• Conocer las principales funciones elementales y manejar sus expresiones algebraicas y sus representaciones graficas.
• Comprender el concepto de límite de una función y utilizarlo para estudiar su comportamiento en un punto y en el infinito.
• Analizar la continuidad de una función y aplicar los principales teoremas relativos a funciones continuas.
• Comprender el concepto de derivada y su interpretación geométrica como pendiente de la recta tangente.
• Aplicar las reglas de derivación al cálculo de derivadas de funciones elementales y compuestas.
• Utilizar las derivadas para calcular límites, obtener aproximaciones poli nómicas, estudiar el crecimiento y decrecimiento de funciones, determinar sus extremos, analizar su convexidad y concavidad, representar gráficamente funciones y resolver problemas de optimización.
• Comprender los conceptos de primitiva, integral indefinida e integral definida.
• Aplicar las principales técnicas de integración al cálculo de integrales.
• Comprender el teorema fundamental del cálculo y utilizar la integral definida para resolver problemas matemáticos y aplicados.
• Aplicar la integral definida al cálculo de valores medios, aéreas, volúmenes, longitudes de arco y aéreas de superficies de revolución, y estudiar las integrales impropias y su convergencia.

A quien va dirigido este libro

Este libro está concebido como bibliografía básica de la asignatura Fundamentos de Calculo, impartida en el primer curso del Grado en Inteligencia Artificial de la UNED.

Asimismo, puede resultar de utilidad para estudiantes de otros grados de Ingeniería, Ciencias, Economía o titulaciones afines que incluyan en sus planes de estudio asignaturas relacionadas con el cálculo diferencial e integral de funciones reales de una variable real.

Por supuesto, este libro también puede ser utilizado por cualquier persona que desee adquirir una formación básica y rigurosa en los fundamentos del cálculo.

Los únicos conocimientos previos necesarios para abordar sus contenidos son los conocimientos matemáticos propios del segundo curso de Bachillerato o los adquiridos en una formación profesional de nivel equivalente.

Organización

Los contenidos de esta obra se organizan en nueve capítulos, siguiendo una secuencia progresiva que permite introducir los distintos conceptos del cálculo sobre una base matemática solida.

El capítulo 1 está dedicado al estudio de los números reales. En él se presentan sus propiedades algebraicas y de orden, la propiedad de completitud, los intervalos, las desigualdades, el valor absoluto y el principio de inducción matemática.

El capítulo 2 introduce las funciones reales de una variable real. Se estudian su definición, los principales tipos de funciones, las operaciones entre funciones y las funciones elementales, entre las que se encuentran las funciones poli nómicas, racionales, potenciales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas.

El capítulo 3 está dedicado al estudio de los límites y la continuidad de las funciones reales de una variable real. Se introducen el concepto de límite de una función en un punto y en el infinito, las propiedades y técnicas fundamentales para el cálculo de límites, las asíntotas y la continuidad. Asimismo, se presentan los principales teoremas relativos a funciones continuas en intervalos cerrados.

En el capítulo 4 se estudian las derivadas de funciones reales de una variable real. Se introduce la definición de derivada y su interpretación geométrica, se analizan las propiedades de las funciones derivables y se presentan las principales reglas de derivación, incluida la regla de la cadena. También se estudian las derivadas de orden superior, la derivación implícita, el concepto de diferencial y los principales teoremas relativos a funciones derivables.

El capítulo 5 está dedicado a las principales aplicaciones de la derivada. En él se estudian el cálculo de limites indeterminados mediante la regla de L’Hopital, la aproximación poli nómica mediante los polinomios de Taylor y Macularan, el crecimiento y decrecimiento de funciones, los extremos, la convexidad, la concavidad y los puntos de inflexión, la representación grafica de funciones y los problemas de optimización.

Los capítulos 6 y 7 se dedican al estudio de las integrales indefinidas. En ellos se introducen los conceptos de primitiva e integral indefinida, las integrales inmediatas y las principales técnicas de integración. Entre estas técnicas se encuentran la integración por sustitución, la integración por partes, las integrales trigonométricas, las sustituciones trigonométricas y la integración de funciones racionales.

Los capítulos 8 y 9 están dedicados al estudio de las integrales definidas, sus aplicaciones y las integrales impropias. En ellos se introduce la integral definida de Riemann, se estudian sus principales propiedades y se presenta el teorema fundamental del cálculo, que establece la relación entre la derivación y la integración. También se desarrollan sus principales aplicaciones al cálculo de valores medios, aéreas, volúmenes, longitudes de arco y aéreas de superficies de revolución, y se estudian las integrales impropias y su convergencia.

Como usar el libro

Este libro está pensado para la educación a distancia. Por ello, sus contenidos han sido seleccionados y organizados para facilitar un aprendizaje progresivo y secuencial. Además, se incluyen numerosas figuras, ejemplos y ejercicios que ayudan a comprender y aplicar los contenidos expuestos.

Todos los capítulos mantienen una estructura uniforme. En primer lugar, se enumeran los objetivos docentes del capítulo y se realiza una introducción a sus contenidos. A continuación, se desarrollan los conceptos y resultados teóricos, acompañados de ejemplos, figuras y observaciones que facilitan su comprensión. Finalmente, cada capítulo incluye una colección de ejercicios propuestos que permite al lector practicar y comprobar su grado de asimilación de los contenidos estudiados.

Las soluciones de los ejercicios propuestos se encuentran en un apéndice al final del libro. Estas soluciones proporcionan, con carácter general, el resultado final de cada ejercicio, mientras que las demostraciones se desarrollan de forma completa cuando forman parte de la solución. Se recomienda intentar resolver cada ejercicio antes de consultar su solución.

Dr. Dº José Manuel Díaz Martínez y Dr Dº Sebastián Dormido Canto

Índice

Índice detallado https://www.editorialsanzytorres.com/static/pdf/9788410409743Indice.pdf