Ecuaciones en Derivadas Parciales

Resumen del libro

Las ecuaciones en derivadas parciales es una materia que aparece en varias áreas de conocimiento de diferentes disciplinas, entre las que se encuentras las Ciencias Matemáticas, las Ciencias Físicas, las Ciencias Biológicas, la Ingeniería o la Economía.

El concepto de derivada parcial de una función aparece por primera vez en los documentos que Isaac Newton escribe en 1671 y son publicados en 1736 bajo el título “Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum”. Sin embargo, en dicho documento no aparece de manera explícita ningún tipo de ecuación en derivadas parciales. La primera publicación científica donde aparecen ecuaciones en derivadas parciales es en el artículo escrito por Johann Bernoulli y publicado en Acta Eruditorum en 1719. De manera intuitiva, dada una función definida sobre un conjunto abierto de un espacio de dimensión 2 o superior, su derivada parcial nos indica la tasa de variación de la función respecto de una de las variables en cada uno de los puntos del conjunto sobre el que se define. Existen numerosos ejemplos físicos donde una ecuación o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales describe el comportamiento de una o varias magnitudes físicas que a priori no conocemos. Conocer dichas magnitudes de forma explícita u obtener la mayor información posible de ellas a partir de la ecuación que satisfacen sus derivadas parciales es el objetivo del análisis de dicha ecuación.
Desde su aparición hasta nuestros días, las ecuaciones en derivadas parciales han suscitado el interés en distintas disciplinas. Este interés, causado en parte por su utilidad, también es debido a su uso como herramienta fundamental en la modelización de una gran cantidad de procesos, entre los que se encuentran la transmisión del calor, la propagación de ondas, el comportamiento de fluidos o la evolución de ciertas poblaciones biológicas.

Índice

Notación
Prologo
1 Preliminares
1.1 Introducción
1.2 Conceptos básicos
1.3 Clasificación de ecuaciones en derivadas parciales
1.4 Ejercicios
2 Ecuaciones de primer orden
2.1 Conceptos generales
2.2 Ecuaciones lineales
2.3 Ecuaciones semilineales y cuasilineales
2.4 Ecuaciones completamente no lineales

2.5 Teorema de Cauchy-Kowalevsky o Cauchy-Kowalevskaya
2.6 Ejercicios
3 Conceptos del análisis funcional
3.1 Prerrequisitos
3.2 Espacios topológicos, métricos, de Banach y de Hilbert
3.3 Integral de Lebesgue y espacios Lp
3.3.1 Espacios de medida. Medida exterior
3.3.2 Medida de Lebesgue en IRN
3.3.3 Función medible
3.3.4 Teorema de la convergencia monótona y de la convergencia dominada
3.3.5 Lema de Fatou
3.3.6 Teorema de Egorov
3.3.7 Definición de espacios Lp(?) y sus propiedades
3.4 Bases de un espacio de Hilbert
3.5 Aplicaciones lineales
3.6 Operadores compactos
3.7 Espacios de Sobolev W m,p(?), W m,p 0 (?)
3.7.1 Definición
3.7.2 Desigualdad de Poincaré
3.7.3 Desigualdad de Poincaré-Wirtinger
3.7.4 Desigualdad de Gagliardo-Nirenberg
3.7.5 Desigualdad de Jensen
3.7.6 Lema de Gronwall
3.7.7 Inclusiones de Sobolev. Teorema de Rellich-Kondrachov
3.7.8 Espacio Dual. Teorema de representación de Riesz. Convergencia débil
3.7.9 Lema de Aubin-Lions
3.8 Semicontinuidad
3.9 Distribuciones
4 Problemas de Sturm-Liouville
4.1 Introducción
4.2 Definición y propiedades
4.3 Formulación débil del problema de Sturm-Liouville
4.4 Forma normal del problema de Sturm-Liouville
4.5 Autovalores del problema de Sturm-Liouville
4.6 Ecuación de Legendre. Polinomios de Legendre
4.7 Ecuación de Bessel. Funciones de Bessel
4.8 Función de Green para el problema de Sturm-Liouville
4.9 Teorema de la alternativa de Fredholm aplicado a la ecuación de Sturm-Liouville
4.10 Ejercicios
5 Series de Fourier
5.1 Introducción
5.2 Definición y propiedades
5.3 Desigualdad de Bessel
5.4 Identidad de Parseval
5.5 Lema de Riemann-Lebesgue
5.6 Completitud del sistema de autofunciones del problema de Sturm-Liouville
5.7 Series trigonométricas
5.8 Fenómeno de Gibbs
5.9 Ejercicios
6 Clasificación de ecuaciones de segundo orden
6.1 Clasificación de ecuaciones de segundo orden
6.2 Ejercicios
7 Ecuaciones de tipo elíptico
7.1 Introducción
7.2 Formulación débil de problemas elípticos lineales
7.3 Unicidad de soluciones
7.4 Principio de superposición
7.5 Principio débil del máximo
7.6 Existencia de soluciones. Teorema de Lax-Milgram
7.7 Autovalores y autofunciones de problemas elípticos
7.8 Método de separación de variables
7.9 Funciones de Green
7.10 Principio fuerte del máximo
7.11 Existencia de soluciones. Método de Perron
8 Ecuaciones parabólicas
8.1 Modelización de la ecuación del calor
8.2 Método de separación de variables
8.3 Unicidad de soluciones
8.4 Principio de superposición para la ecuación del calor
8.5 Principio del máximo para ecuaciones parabólicas
8.6 Existencia de soluciones. Método de Galerkin
9 La ecuación de ondas
9.1 Modelización de la ecuación de ondas en dimensión 1
9.2 Fórmula de D’Alembert
9.3 Principio de superposición
9.4 Método de separación de variables

9.5 Existencia y unicidad de soluciones
10 Transformada de Fourier
10.1 Introducción
10.2 Definición y propiedades
10.3 Transformada de Fourier aplicada a la ecuación del calor

10.4 Transformada de Fourier aplicada a la ecuación de ondas
10.5 La transformada de Fourier N -dimensional
Apéndice I. Conceptos de análisis de varias variables
Apéndice II. Resultados de ecuaciones diferenciales ordinarias
Apéndice III. Regularidad de las soluciones de problemas elípticos
Bibliografía
Glosario